Polinoamele reprezinta un obiect central de studiu in domenii importante ale
matematicii cum ar fi algebra comutativa, geometria algebrica, aritmetica si
teoria numerelor. Acest proiect de cercetare isi propune studierea idealelor
polinomiale prin mijloace provenind din trei directii diferite, foarte
importante, in cercetarea matematica actuala :
1) Aspecte combinatoriale si computationale ale algebrei comutative
2) Metode de algebra omologica in studiul rezolutiilor idealelor polinomiale
3) Metode de factorizare aritmetice si combinatoric-algebrice in inele de
polinoame.
Obiectivele acestui proiect de cercetare, corespunzatoare celor trei directii
de cercetare mentionate anterior,sunt urmatoarele :
1) - Calculul unor invarianti algebrici (regularitate Castelnuovo-Mumford,
profunzime etc.) pentru clase speciale de ideale monomiale si obtinerea
unor margini liniare pentru regularitatea Castelnuovo-Mumford a puterilor
unui ideal de tip Borel
- Studiul proprietatilor "weak" si "strong" Lefschetz pentru ideale
polinomiale de tip intersectie completa
- Caracterizarea proprietatii Koszul a inelului graduat asociat algebrei
de incidenta a unei multimi partial ordonate
- Descrierea unor clase de ideale monomiale ale caror numere Betti sa fie
independente de caracteristica corpului de coeficienti ai algebrei
polinomiale prin intermediul modulelor de omologie Koszul
- Studiul modulelor de omologie Koszul pentru module Cohen-Macaulay si
Gorenstein
2) - Aplicarea tehnicilor de fibrate vectoriale si de categorii derivate in
studierea ecuatiilor polinomiale ale subvarietatilor de codimensiune 2 ale
unui spatiu proiectiv prin intermediul sectiunilor hiperplane generale
- Aplicarea acestor tehnici in probleme inrudite privind
extinderea/restrictia fibratelor vectoriale pe spatii proiective
3) - Studiul functiilor multiplicative definite pe inelul polinoamelor cu
coeficienti intregi si aplicatii in problemele de factorizare
- Obtinerea unor conditii de ireductibilitate si separabilitate pentru
polinoame cu coeficienti intregi si pentru polinoame in mai multe
nedeterminate peste corpuri arbitrare.
Activitatile corespunzatoare obiectivelor mentionate mai sus sunt:
documentare stiintifica, vizite de documentare-cercetare, cercetare
stiintifica, editare si diseminare a rezultatelor obtinute.
- Obiectivele mentionate la punctele 1) si 2) de mai sus au fost realizate
integral pe parcursul primelor trei faze ale proiectului (2007, 2008 si 2009).
- Obiectivele mentionate la punctul 3) corespund ultimei faze a proiectului
(2010), indeplinirea acestora fiind in curs de finalizare.Iustin-Gh. Coanda, Cercetator Stiintific gradul I in Institutul de Matematica "Simion Stoilow" al Academiei Romane
Iustin Coanda
Dorin Popescu
Cristodor Ionescu
Nicolae Ciprian Bonciocat
Marius Vladoiu
Mircea Cimpoeas
Dumitru Stamate
Mihai Epure
- La inceputul acestui proiect, trei dintre membrii echipei noastre de cercetare (M. Cimpoeas, D. Stamate si M. Epure) erau doctoranzi. Tematica celor trei teze de doctorat se incadreaza in obiectivele acestui proiect. Atingerea acestor obiective presupune un efort multidisciplinar, necesitand metode de algebra comutativa combinatorica, algebra omologica, aritmetica si geometrie algebrica. Componenta si competentele stiintifice ale membrilor echipei de cercetare reflecta caracterul multidisciplinar al proiectului. - M. Cimpoeas a obtinut titlul de doctor in Matematici in anul 2008, iar D. Stamate si-a sustinut teza de doctorat in iulie 2009. De asemenea, M. Epure se afla intr-un stadiu avansat privind elaborarea tezei. - Contributia tinerilor cercetatori la obtinerea rezultatelor acestui proiect a fost substantiala, fapt reflectat in calitatea articolelor elaborate de acestia, dupa cum se poate vedea in lista de lucrari de mai jos.
- Calcularea unor invarianti algebrici (regularitate Castelnuovo – Mumford, profunzime si dimensiune) pentru o clasa importanta de ideale monomiale, si anume idealele de produse mixte. - Caracterizarea idealelor monomiale de tip Borel, folosind notiunea de ideal monomial stabil. Ca o aplicatie, se obtine o margine superioara pentru regularitatea Castelnuovo – Mumford a produsului a doua ideale de tip Borel. - Rezultate legate de Conjectura Stanley privind profunzimea Stanley a modulelor monomiale: a) demonstrarea Conjecturii Stanley pentru caturile monomiale ale inelelor polinomiale in cel mult 5 nedeterminate; b) un algoritm de calcul al profunzimii Stanley pentru catul a doua ideale monomiale; c) estimarea profunzimii Stanley pentru ideale monomiale intersectie completa; d) demonstrarea Conjecturii Stanley pentru ideale generate de 3 monoame si pentru algebra cat corespunzatoare; e) estimarea profunzimii Stanley pentru puterile idealului omogen maximal al unui inel polinomial; f) demonstrarea Conjecturii Stanley pentru intersectiile de doua ideale monomiale ireductibile si pentru caturile inelelor polinomiale prin intersectii de 3 ideale monomiale ireductibile. - O analiza a Conjecturii lui Moreno privind idealul initial generic al unui ideal omogen intersectie completa al unui inel polinomial, incluzand o demonstratie a conjecturii pentru ideale de acest tip cu 3 generatori. - Introducerea unei noi clase de algebre, si anume algebrele de incidenta reduse si caracterizarea idealelor lor la dreapta monomiale care au proprietatea Koszul. Aceasta caracterizare unifica si extinde trei caracterizari obtinute anterior pentru: a) algebrele de incidenta Koszul (Polo, Woodcock); b) inelele afine semigrupale Koszul (Peeva – Reiner – Sturmfels); c) idealele monomiale libere de patrate cu rezolutii libere (Eagon – Reiner, Herzog – Hibi, Herzog – Reiner – Welker). - Generalizarea corespondentei Horrocks de la fibrate vectoriale pe spatii proiective la fascicule coerente, ceea ce include cazul fasciculelor de ideale ale subvarietatilor spatiilor proiective. - Caracterizarea fibratelor vectoriale pe spatii proiective ce pot fi extinse stabil la spatii proiective de dimensiune oricat de mare si obtinerea unei noi versiuni efective a Teoremei Turnului Babel. - Demonstrarea unei Conjecturi a lui H. Brenner privind existenta fibratelor de relatii monomiale pe spatii proiective. - Criterii de ireductibilitate si separabilitate pentru anumite clase de polinoame cu coeficienti intregi, sau cu coeficienti in corpuri arbitrare. - Caracterizarea anumitor clase de corpuri patratice reale avand inelul de intregi principal.
C. Ionescu, G. Rinaldo: Some algebraic invariants related to mixed product ideals, Arch. Math. 91, no. 1, 20-30 (2008)
(factor impact ISI 0.5);
M. Cimpoeas: Some remarks on Borel type ideals, Commun. Algebra 37, no. 2, 724-727 (2009) (factor impact ISI 0.337).
J. Herzog, M. Vladoiu, X. Zheng: How to compute the Stanley depth of a monomial ideal, J. Algebra 322, no. 9, 3151-3169,
(2009) (factor impact ISI 0.63);
D. Popescu: Stanley depth of multigraded modules, J. Algebra 321, no. 10, 2782-2797 (2009) (factor impact ISI 0.63);
M. Cimpoeas: Stanley depth of complete intersection monomial ideals, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 51(99), no. 3,
205-211 (2008) (lista extinsa ISI);
V. Reiner, D.I. Stamate: Koszul incidence algebras, affine semigroups, and Stanley-Reisner ideals, Adv. Math. 224,
no. 6, 2312-2345 (2010) (factor impact ISI 1.403);
M. Cimpoeas: Stanley depth of monomial ideals with small number of generators, Central European Journal of Mathematics,
vol. 7, no. 4, 629-634 (2009) (factor impact ISI 0.361);
M. Cimpoeas: Some remarks on the Stanley's depth of multigraded modules, Le Matematiche, vol. LXIII, fasc. II, 165-171
(2008);
M. Cimpoeas: Lefschetz property for complete intersections, Analele Univ. Buc., Matematica, Anul LVIII, 125-144 (2009);
I. Coanda: The Horrocks correspondence for coherent sheaves on projective spaces, Homology, Homotopy Appl. 12, no. 1,
327-353 (2010) (factor impact ISI 0.609);
I. Coanda: Infinitely stably extendable vector bundles on projective spaces, Arch. Math. 94, no. 6, 539-545 (2010)
(factor impact ISI 0.373);
I. Coanda: On the stability of syzygy bundles, International J. Math. (va aparea) (factor impact ISI 0.608);
A.I. Bonciocat, N.C. Bonciocat: On the irreducibility of polynomials with leading coefficient divisible by a large prime power,
Amer. Math. Monthly 116, no. 8, 743-745 (2009) (factor impact ISI 0.361);
A.I. Bonciocat, N.C. Bonciocat and A. Zaharescu: On the irreducibility of polynomials that take a prime power value,
Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 54(102), (2011) (factor impact ISI 0.554);
D. Popescu, M.I. Qureshi: Computing the Stanley depth, J. Algebra 323, no. 10, 2943-2959 (2010) (factor impact ISI 0.632);
M. Epure, A. Gica: Principal quadratic real fields in connection with some additive problems,
Bull. Soc. Math. Sci. Math. Roumanie 53(101), no. 3, 251-259 (2010) (factor impact ISI 0.554);
N.C. Bonciocat, A. Zaharescu: Irreducible multivariate polynomials obtained from polynomials in fewer variables II.