Grant PN-II-RU-RP-2007-1-3

(english version here )

Descrierea proiectului

Acest proiect este dedicat studiului unor ecuatii cu derivate partiale din punctul de vedere al aproximarii numerice, comportamentului asimptotic si controlului. Mai precis, vom analiza urmatoarelor probleme:

1. Scheme de aproximare numerica pentru ecuatii dispersive.
Stabilim pana la ce punct schemele numerice clasice (sau variante ale acestora ce vor fi introduse de-a lungul proiectului) verifica proprietatile de dispersivitate  uniforme in raport cu pasul de discretizare. Acestea sunt importante pentru demonstrarea convergentei schemelor numerice in problemele neliniare asociate.

2.Aproximari numerice ale problemelor de control.
Analizam in ce masura inegalitatile de observabilitate utilizate in contextul problemelor de control raman uniforme in raport cu pasul de discretizare. Acest studiu ne va permite demonstrarea convergentei controalelor discrete la un control continuu.    
3.  Proprietati asimptotice ale ecuatiilor de difuzie nelocala.

Rezultate obtinute

1. Ecuatii nelocale cu termeni convectivi

Am analizat un tip de ecuatii care tin cont atat de termenii difuzivi cat si de cei convectivi
                                              
in , unde si  sunt nenegative si verifica .  In acest caz avem un operator de difuzie  si un termen convectiv neliniar dat de . Daca  nu este simetrica atunci indivizii au o mai mare probabilitate pentru a se deplasa intr-o anumita directie decat in alta, provocand un efect convectiv.
Obiectivul nostru a fost sa obtinem comportamentul asimptotic si profilul solutiilor asumand anumite conditii de crestere asupra functiei , ca de exemplu . Pentru ecuatia de convectie-difuzie locala, aceasta analiza a fost realizata de catre Schonbek in [53], [54] si, asumand ipoteze mai putin restrictive, de catre Escobedo si Zuazua in [19],  Carlen si Loss in [9]. Totusi, in ultimile doua referinte, estimarile de energie sunt folosite impreuna cu inegalitatile Sobolev pentru a obtine comportamentul asimptotic al solutiilor. Aceste inegalitati  Sobolev nu sunt disponibile pentru modelul nelocal deorece partea liniara nu are nici un efect regularizant. Pentru problema nelocala discutata anterior am adoptat metodele de splitting in variabila Fourier introduse de catre Schonbek in [53] si ulterioar rafinate in articolele [55], [34].

Articole aparute suportate de acest grant

Liviu I. Ignat, Julio D. Rossi, A nonlocal convection–diffusion equation, Journal of Functional Analysis 251 (2007) 399–437, PDF