Projet de Recherche

Problèmes d'intégrabilité dans la théorie de Lie en dimension infinie.


En coopération avec le Centre Francophone en Mathématiques de Bucarest (IMAR).
Equipe:.
  • Daniel Beltiţă - Institut de Mathématiques "Simion Stoilow" de l’ Académie Roumaine.
  • Fernand Pelletier - UMR 5127, Université "Mont Blanc" de Savoie.
  • Amel Zergane - Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse, Tunisie.

Publications: Activité 2019:
  • Visite de Mme Amel Zergane à l'Institut de Mathématique ,,Simion Stoilow'' de l'Académie Roumaine, Bucarest, du 24 au 31 Mars 2019.
  • Visite de M. Fernand Pelletier à l'Institut de Mathématique ,,Simion Stoilow'' de l'Académie Roumaine, Bucarest, du 19 au 26 Novembre 2019.
En 2019 nous avons poursuivi l'étude du problème fondamental de l'intégrabilité pour certaines classes d'algèbres de Lie à dimension infinie. Comme l'année précédente, nos recherches ont ét\é organisées selon deux objectifs principaux.

Activité 2018:
  • Visite de Amel Zergane à l‘Institut de Mathematiques “Simion Stoilow” de l‘Academie Roumaine, Bucarest, Roumaine dans le cadre du Centre Francophone en Mathématiques de Bucarest.
  • Visite de Fernand Pelletier à l‘Institut de Mathematiques “Simion Stoilow” de l‘Academie Roumaine.
On a abordé le problème fondamental de l‘integrabilité pour certaines classes d'algèbres de Lie à dimension infinie et d'algébroïdes de Lie. Nos recherches ont été organisées selon deux objectifs principaux.

Etude des objets globaux (groupoïdes de Lie banachiques ou des groupes de Lie dans un sens généralisé qui devraient être le résultat du processus d'intégration)

2019:
Les résultats obtenus dans cette étape sont contenus dans les articles [BP1] et [BP2] en cours d'élaboration. Les plus significatifs de ces résultats sont les suivants:
  1. On a introduit la notion de H-variété banachique, qui est basée sur une condition d'homogénéité satisfaite par les cartes locales. Ceci est une généralisation des Q-variétés banachiques au sens de M. Plaisant.
  2. On a étudié la rélation des H-variétés avec les actions libres des pseudo-groupes de difféomorphismes locaux.
  3. On a prouvé un théorème de type Frobenius pour les foliations des H-variétés banachiques.
  4. On a étudié les H-variétés banachiques en groupes et leur propriétés fondamentales.
  5. On a étendu le foncteur de Lie des groupes de Lie banachiques aux H-variétés banachiques en groupes.
  6. On a déterminé exactement, pour tout groupe de Lie banachique, connex et simplement connex, pour lesquels de ses sous-groupes normaux leurs groupes quotient correspondants sont des H-variétés banachiques en groupes.
  7. On a donné des nombreux exemples des sous-groupes normaux comme ci-dessus, pour lesquels leurs groupes quotient correspondants sont très loin d'être des groupes de Lie banachiques. Cela montre la richesse de cette théorie des H-variétés et l'étendue de ses applications.
  8. On a commencé l'étude des limites projectives des H-variétés en groupes et leurs applications sur le probl\'eme d'intégrabilité des algèbres de Lie localement convexes.
2018:
  1. On a introduit la notion de groupoïde de Lie banachique (pas forcement separé) et nous avons identifié des éxemples de tels groupoïdes liés a plusieurs problèmes de géometrie a dimension infinie. On a montré que les orbites de ces groupoïdes sont lisses sous des hypothèses naturelles, prolongeant ainsi les résultats classiques sur les actions des groupes de Lie banachiques.
  2. On a étendu le foncteur de Lie des groupes de Lie banachiques aux groupoïdes de Lie banachiques et on a établi le lien entre les orbites d'un groupoïde de Lie banachique et les orbites de l'algébrode de Lie banachique correspondant.
  3. On a obtenu une version pour les groupoïdes de Lie banachiques du fait que pour chaque groupe de Lie banachique il existe un groupe de Lie banachique simplement connex ayant la même algèbre de Lie.
  4. On a étudié les groupoïdes localement transitifs de Lie banachiques, une classe de groupoïdes qui jouent un rôle central dans la description des propriétés de differentiabilité du pseudo-inverse de Moore-Penrose dans les C*-algèbres.

Etude de quelques propriétés particulières des foncteurs de Lie de la catégorie des objets globaux à valeurs dans la catégorie des objets infinitésimaux.

2019:
Les résultats obtenus dans cette étape sont contenus dans la variante finale de l'article [BPZ], article qui avait été commencé dans 2018 et qui est maintenant publié. Les plus significatifs de ces résultats qui ont été obtenus pendant la finalisation de l'article [BPZ] sont les suivants:
  1. On a trouvé des nouveaux examples de sous groupes pseudo-discrets des groupes de Lie.
  2. Dans le cadre de la théorie de Lie des groupes topologiques (pas forcement des groupes de Lie) on a obtenu le resultat suivant: si G est un groupe topologique pour lequel l'application exponentielle est une application ouverte, alors pour tout sous-groupe fermé normal de G l'application quotient correspondente fournit, à travers le foncteur de Lie, une application dont l'image est dense.
2018:
Les plus significatifs de ces résultats sont les suivants:
  • On a étudié de nouveaux examples de Q-groupes à dimension infinie au sens de R. Barre et M. Plaisant, a savoir certains groupes dont la topologie est séparée.
  • Pour une large classe de Q-groupes, on a prouvé qu'ils sont des groupes topologiques à algèbre de Lie au sens de K.H. Hofmann et S. Morris, mais leur algèbre de Lie au sens de Q-groupes est incluse dans leur algèbre de Lie au sens de groupes topologiques. On a prouvé aussi que cette inclusion est stricte pour certains examples de Q-groupes séparés, qui admettent des sous-groupes continus à un parametre qui ne sont pas Q-lisses.
  • On a prouvé que certains morphismes de groupes de Lie banachiques à valeurs dans les groupes topologiques à algèbre de Lie se comportent comme les submersions vis-à-vis des images inverses de fonctions lisses. L'‘éenoncé précis de ce théorème necessite le calcul differentiel sur les groupes topologiques generaux, qui utilise la différentiabilité des fonctions sur des sous-groupes à un parametre.
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